Soal Olimpiade Sains Matematika SMA lengkap kunci jawaban

Soal Olimpiade Sains Matematika SMA lengkap kunci jawaban - Bank Soal Olimpiade Sains Matematika SMA adalah kumpulan materi bahasan soal-soal matematika yang terdiri dari rumus-rumus matematika dan deret angka disertai pemecahan masalah dari soal matematika lengkap kunci jawaban

Berikut adalah Soal Olimpiade Sains Matematika SMA lengkap kunci jawaban

Bidang Matematika

Waktu: 120 menit

Petunjuk : Untuk masing-masing soal tulis jawab akhirnya saja (tanpa penjabaran) di lembar jawab yang disediakan.

1. Jika a, b, c, d, e merupakan bilangan asli dengan a < 2b, b < 3c, c < 4d, d < 5e dan e < 100, maka nilai maksimum dari a adalah ...

2. Rudi membuat bilangan asli dua digit. Probabilitas bahwa kedua digit bilangan tersebut merupakan bilangan prima dan bilangan tersebut bersisa 3 jika dibagi 7 adalah ...

3. Pada segitiga ABC, titik M terletak pada BC sehingga AB = 7, AM = 3, BM = 5 dan MC = 6. Panjang AC adalah ...

4. Diberikan a dan b bilangan real dengan √a −√b = 20. Nilai maksimum dari a − 5b adalah...

5. Pada segitiga ABC, titik X, Y dan Z berturut-turut terletak pada sinar BA, CB dan AC sehingga BX = 2BA, CY = 2CB dan AZ = 2AC. Jika luas 4ABC adalah 1, maka luas 4XY Z adalah ...

6. Banyaknya bilangan asli n yang memenuhi sifat hasil jumlah n dan suatu pembagi positif n yang kurang dari n sama dengan 2016 adalah ...

7. Misalkan a adalah bilangan real sehingga polinomial p(x) = x4 + 4x + a habis dibagi oleh (x − c)

2 untuk suatu bilangan real c. Nilai a yang memenuhi adalah ...

8. Anak laki-laki dan anak perempuan yang berjumlah 48 orang duduk melingkar secara acak. Banyaknya minimum anak perempuan sehingga pasti ada enam anak perempuan yang duduk berdekatan tanpa diselingi anak laki-laki adalah ...

9. Misalkan (a, b, c, d, e, f) adalah sebarang pengurutan dari (1, 2, 3, 4, 5, 6). Banyaknya pengurutan sehingga a + c + e > b + d + f adalah ...

10. Misalkan n1, n2, n3, · · · bilangan-bilangan asli yang membentuk barisan aritmatika. Banyaknya nilai di himpunan {1, 2, 3, · · · , 1000} yang mungkin menjadi nilai nn2 − nn1 adalah ...

11. Segitiga ABC mempunyai panjang sisi AB = 20, AC = 21 dan BC = 29. Titik D dan E terletak pada segmen garis BC, dengan BD = 8 dan EC = 9. Besar ∠DAE adalah ... derajat.

12. Bilangan real t sehingga terdapat dengan tunggal tripel bilangan real (x, y, z) yang memenuhi x 2 + 2y 2 = 3z dan x + y + z = t adalah ...

13. Palindrom adalah bilangan yang sama dibaca dari depan atau dari belakang. Sebagai contoh 12321 dan 32223 merupakan palindrom. Palindrom 5 digit terbesar yang habis dibagi 303 adalah ...

14. Diberikan barisan {an} dan {bn} dengan

untuk setiap bilangan asli n. Misalkan Sn = a1b1 + a2b2 + · · · + anbn. Banyaknya bilangan asli n dengan n ≤ 2016 sehingga Sn merupakan bilangan rasional adalah ...

15. Diberikan persegi ABCD dengan panjang sisi 1. Titik K dan L berturut-turut terletak pada segmen garis BC dan DC sehingga keliling dari 4KCL adalah 2. Luas minimum dari 4AKL adalah ...

16. Banyaknya pasangan terurut bilangan asli (a, b, c) dengan a, b, c ∈ {1, 2, 3, 4, 5} sehingga max{a, b, c} < 2 min{a, b, c} adalah ...

17. Banyaknya bilangan asli n ∈ {1, 2, 3, · · · , 1000} sehingga terdapat bilangan real positif x yang memenuhi

adalah ...

18. Misalkan x, y, z bilangan real positif yang memenuhi

Nilai dari

adalah

19. Diberikan empat titik pada satu lingkaran Γ dalam urutan A, B, C, D. Sinar garis AB dan DC berpotongan di E, dan sinar garis AD dan BC berpotongan di F. Misalkan EP dan F Q menyinggung lingkaran Γ berturut-turut di P dan Q. Misalkan pula bahwa EP = 60 dan F Q = 63, maka panjang EF adalah ...

20. Pada sebuah bidang datar, terdapat 16 garis berbeda dan n titik potong berbeda. Nilai minimal n sehingga dapat dipastikan terdapat 3 kelompok garis yang masing-masing memuat garis-garis berbeda yang saling sejajar adalah ..

1. Jika a, b, c, d, e merupakan bilangan asli dengan a < 2b, b < 3c, c < 4d, d < 5e dan e < 100, maka nilai maksimum dari a adalah ...

Jawaban : 11847

e ≤ 99 =⇒ d < 495

d ≤ 494 =⇒ c < 1976

c ≤ 1975 =⇒ b < 5925

b ≤ 5924 =⇒ a < 11848

Jadi, nilai maksimum a adalah 11847.

2. Rudi membuat bilangan asli dua digit. Probabilitas bahwa kedua digit bilangan tersebut merupakan bilangan prima dan bilangan tersebut bersisa 3 jika dibagi 7 adalah ...

Jawaban : 1 /45

Misalkan bilangan yang dibuat Rudi adalah 10a + b. Diketahui bahwa 10a + b ≡ 3 mod 7 ⇔ 3a + b ≡ 3 mod 7 karena a, b ∈ {2, 3, 5, 7} maka tinggal dibagi kasus

a = 2, diperoleh 6 + b ≡ 3 mod 7 ⇔ b ≡ 4 mod 7. Tidak ada nilai b yang memenuhi.

a = 3, diperoleh 9 + b ≡ 3 mod 7 ⇔ b ≡ 1 mod 7. Tidak ada nilai b yang memenuhi.

a = 5, diperoleh 15 + b ≡ 3 mod 7 ⇔ b ≡ 2 mod 7. Diperoleh b = 2.

a = 7, diperoleh 21 + b ≡ 3 mod 7 ⇔ b ≡ 3 mod 7. Diperoleh b = 3.

Jadi, ada dua bilangan yang memiliki sifat kedua digit penyusunnya berupa bilangan prima dan bilangan tersebut bersisa 3 jika dibagi 7 yaitu 52 dan 73. Sehingga peluangnya adalah

2/90 =1/45

3. Pada segitiga ABC, titik M terletak pada BC sehingga AB = 7, AM = 3, BM = 5 dan MC = 6. Panjang AC adalah ...

Jawaban : 3√3

Dengan dalil Stewart diperoleh

AB2 × MC + AC2 × BM = AM2 × BC + BC × BM × MC

⇔ 49 × 6 + AC2 × 5 = 9 × 11 + 11 × 5 × 6

⇔ 5AC2 = 135

⇔ AC = 3√3

4. Diberikan a dan b bilangan real dengan √a −√b = 20. Nilai maksimum dari a − 5b adalah...

Jawaban : 500

√a −√b = 20 =⇒ a = b + 40√b + 400, sehingga

a − 5b = b + 40√b + 400 − 5b = −4(√b − 5)2 + 500

Oleh karena itu, nilai maksimum dari a − 5b adalah 500, dicapai ketika a = 625 dan b = 25.

5. Pada segitiga ABC, titik X, Y dan Z berturut-turut terletak pada sinar BA, CB dan AC sehingga BX = 2BA, CY = 2CB dan AZ = 2AC. Jika luas 4ABC adalah 1, maka luas 4XY Z adalah ...

Jawaban : 7

Perhatikan gambar berikut!

Kita punya

[ABC] = [ABY ] = [AXY ]

[ABC] = [BCZ] = [BZY ]

[ABC] = [ACX] = [CZX]

Sehingga [XY Z] = 7[ABC] = 7.

6. Banyaknya bilangan asli n yang memenuhi sifat hasil jumlah n dan suatu pembagi positif n yang kurang dari n sama dengan 2016 adalah ...

Jawaban : 34

Misalkan a < n adalah faktor positif dari n sehingga a + n = 2016. Perhatikan bahwa a membagi 2016. Sehingga a adalah faktor positif dari 2016. Karena 2016 = 25 × 3 2 × 7 maka faktor positif dari 2016 ada sebanyak 6 × 3 × 2 = 36. Dan karena n = 2016 − a ≥ 1 serta a < n maka a 6= 2016 dan a 6= 1008. Sehingga banyaknya bilangan asli n yang memenuhi ada 36 − 2 = 34.

7. Misalkan a adalah bilangan real sehingga polinomial p(x) = x4 + 4x + a habis dibagi oleh (x − c)2 untuk suatu bilangan real c. Nilai a yang memenuhi adalah ...

Jawaban :

dengan menjabarkan ruas kanan diperoleh

Oleh karena itu,

Jawaban : 41

Misalkan n menyatakan jumlah anak laki-laki dan misalkan pula tempat duduk diantara dua laki-laki yang berdekatan kita sebut sebagai ruang. Jika n ≥ 8 maka ada minimal 8 ruang yang bisa ditempati oleh anak perempuan. Sementara itu, jumlah anak perempuan maksimal ada 40. Jadi, kita dapat mengatur anak perempuan tersebut ke dalam ruang-ruang sehingga tiap ruang maksimal ada 5 anak perempuan. Jika n = 7 maka ada 7 ruang yang bisa ditempati oleh 41 anak perempuan. Berdasarkan PHP pasti ada setidaknya satu ruang yang ditempati oleh setidaknya 6 anak perempuan. Jadi, jumlah anak perempuan minimum ada 41.

9. Misalkan (a, b, c, d, e, f) adalah sebarang pengurutan dari (1, 2, 3, 4, 5, 6). Banyaknya pengurutan sehingga a + c + e > b + d + f adalah ...

Jawaban : 360

Karena 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21, dan a + c + e > b + d + f maka 6 ≤ b + d + f ≤ 10. WLOG

a < c < e dan b < d < f.

• Jika b + d + f = 6 maka (b, d, f) = (1, 2, 3) dan (a, c, e) = (4, 5, 6).

• Jika b + d + f = 7 maka (b, d, f) = (1, 2, 4) dan (a, c, e) = (3, 5, 6).

• Jika b + d + f = 8 maka

– (b, d, f) = (1, 2, 5) dan (a, c, e) = (3, 4, 6),

– (b, d, f) = (1, 3, 4) dan (a, c, e) = (2, 5, 6)

• Jika b + d + f = 9 maka

– (b, d, f) = (1, 2, 6) dan (a, c, e) = (3, 4, 5),

– (b, d, f) = (1, 3, 5) dan (a, c, e) = (2, 4, 6),

– (b, d, f) = (2, 3, 4) dan (a, c, e) = (1, 5, 6)

• Jika b + d + f = 10 maka

– (b, d, f) = (1, 3, 6) dan (a, c, e) = (2, 4, 5),

– (b, d, f) = (1, 4, 5) dan (a, c, e) = (2, 3, 6),

– (b, d, f) = (2, 3, 5) dan (a, c, e) = (1, 4, 6)

Jadi, pasangan (a, b, c, d, e, f) yang memenuhi ada sebanyak 10 × 3! × 3! = 360.

10. Misalkan n1, n2, n3, · · · bilangan-bilangan asli yang membentuk barisan aritmatika. Banyaknya nilai di himpunan {1, 2, 3, · · · , 1000} yang mungkin menjadi nilai nn2 − nn1 adalah ...

Jawaban : 31

Misalkan n1 = a dan beda barisan aritmatika tersebut adalah b dengan a, b > 0.

karena

maka banyaknya nilai yang mungkin dari nn2 − nn1 adalah 31.

11. Segitiga ABC mempunyai panjang sisi AB = 20, AC = 21 dan BC = 29. Titik D dan E terletak pada segmen garis BC, dengan BD = 8 dan EC = 9. Besar ∠DAE adalah ... derajat.

Jawaban : 45◦

Buat garis melalui B sejajar AC yang memotong perpanjangan AD di G. Demikian pula, buat garis melalui C sejajar AB yang memotong perpanjangan AE di F, seperti gambar berikut

Dengan memanfaatkan kesebangunan antara 4BDG dan 4ADC diperoleh BG = 8 / 21 ×21 =8.

Dengan cara serupa diperoleh pula CF = 9. Misalkan ∠CAF = β dan ∠BAG = α. Maka diperoleh

tan α = 8 / 20 = 2 / 5

dan tan β = 9/21 = 3/ 7

Alternatif solusi (Kredit to Pak Eddy) : Perhatikan bahwa segitiga ABE dan segitiga ADC adalah segitiga samakaki. Dengan mengingat bahwa ∠ABC + ∠BCA = 90◦ , diperoleh

12. Bilangan real t sehingga terdapat dengan tunggal tripel bilangan real (x, y, z) yang memenuhi x 2 + 2y 2 = 3z dan x + y + z = t adalah ...

Jawaban :

Agar memiliki penyelesaian tunggal maka haruslah

13. Palindrom adalah bilangan yang sama dibaca dari depan atau dari belakang. Sebagai contoh 12321 dan 32223 merupakan palindrom. Palindrom 5 digit terbesar yang habis dibagi 303 adalah ...

Jawaban : 47874

Misalkan palindrom lima digit tersebut adalah n = abcba = 10001a + 1010b + 100c. Karena habis dibagi 303 = 3 × 101

maka n = 10001a + 1010b + 100c ≡ 2a − c ≡ 0 mod 101

dan n = 10001a + 1010b + 100c ≡ 2a + 2b + c ≡ 0 mod 3

karena 2a − c ≡ 0 mod 101 dan −9 ≤ 2a − c ≤ 18

maka 2a − c = 0 =⇒ c = 2a. Agar n maksimal pilih a = 4.

Akibatnya 2a + 2b + c ≡ 0 mod 3 ⇔ 16 + 2b ≡ 0 mod 3 ⇔ b ≡ 1 mod 3

maka nilai b terbesar adalah b = 7. Jadi, n = 47874.

14. Diberikan barisan {an} dan {bn} dengan

untuk setiap bilangan asli n. Misalkan Sn = a1b1 + a2b2 + · · · + anbn. Banyaknya bilangan asli n dengan n ≤ 2016 sehingga Sn merupakan bilangan rasional adalah ..

Jawaban : 43

Perhatikan bahwa

Sehingga

Agar Sn bernilai rasional maka n+ 1 harus berupa bilangan kuadrat. Mengingat 2 ≤ n+ 1 ≤ 2017, dan 442 < 2017 < 452 , maka nilai n yang mungkin ada sebanyak 43.

15. Diberikan persegi ABCD dengan panjang sisi 1. Titik K dan L berturut-turut terletak pada segmen garis BC dan DC sehingga keliling dari Segitiga KCL adalah 2. Luas minimum dari Segitiga AKL adalah ...

Jawaban : √2 − 1

Perhatikan gambar berikut

Misalkan CK = a dan CL = b dengan 0 < a, b < 1. Karena keliling 4KCL = 2 diperoleh

misalkan a + b = x dan ab = y dengan 0 < x < 2 dan 0 < y < 1 diperoleh

Selain itu berdasarkan AM-GM diperoleh pula

Yang berakibat

Sehingga

2. Akan tetapi, karena x < 2 maka diperoleh x ≤ 4 − 2 √2.

Di lain pihak

Jadi, luas 4AKL minimal adalah √ 2 − 1 yang dicapai saat a = b = 2 − √ 2.

16. Banyaknya pasangan terurut bilangan asli (a, b, c) dengan a, b, c ∈ {1, 2, 3, 4, 5} sehingga max{a, b, c} < 2 min{a, b, c} adalah ...

Jawaban : 35

WLOG a ≤ b ≤ c, maka diperoleh c < 2a.

(a) Jika a = 1 maka c = 1 dan b = 1, maka diperoleh pasangan (1, 1, 1).

(b) Jika a = 2 maka

• c = 2 dan b = 2, diperoleh pasangan (2, 2, 2)

• c = 3 dan b = 2, 3, diperoleh pasangan (2, 2, 3) dan (2, 3, 3) ada sebanyak 2 × 3 = 6 pasangan.

• c = 3 dan b = 3, diperoleh pasangan (3, 3, 3)

• c = 4 dan b = 3, 4, diperoleh pasangan (3, 3, 4) dan (3, 4, 4) ada sebanyak 2 × 3 = 6 pasangan.

• c = 5 dan b = 3, 4, 5, diperoleh pasangan (3, 3, 5),(3, 4, 5) dan (3, 5, 5) ada sebanyak 3 + 6 + 3 = 12 pasangan.

(d) Jika a = 4 maka

• c = 4 dan b = 4, diperoleh pasangan (4, 4, 4)

• c = 5 dan b = 4, 5, diperoleh pasangan (4, 4, 5) dan (4, 5, 5) ada sebanyak 2 × 3 = 6 pasangan.

(e) Jika a = 5 maka c = 5 dan b = 5, maka diperoleh pasangan (5, 5, 5). Jadi, total ada 1 + 7 + 19 + 7 + 1 = 35 pasangan.

17. Banyaknya bilangan asli n ∈ {1, 2, 3, · · · , 1000} sehingga terdapat bilangan real positif x yang memenuhi x 2 + bxc 2 = n adalah ...

Jawaban : 516

Perhatikan bahwa

sehingga x2 adalah bilangan bulat positif. Oleh karena itu, x = √ a untuk suatu bilangan a bulat positif. Misalkan a = k2 + m dengan 0 ≤ m ≤ 2k,

maka diperoleh

Untuk k = 1, 2, 3, · · · , 21 maka nilai n yang mungkin ada sebanyak

Sedangkan untuk k = 22 perlu diperhatikan bahwa nilai m yang mungkin hanya m = 0, 1, 2, 3, · · · , 32. Jadi ada 33 nilai n yang mungkin. Untuk k ≥ 23 akan berakibat n > 1000.

Jadi, total banyaknya kemungkinan nilai n adalah 483 + 33 = 516.

18. Misalkan x, y, z bilangan real positif yang memenuhi

Nilai dari

adalah

Jawaban : 1

soal-olimpiade-sains-matematika-sma-lengkap-kunci-jawaban

Berdasarkan definisi fungsi logaritma diperoleh

Sehingga diperoleh

Jawaban : 87

Misalkan ER adalah garis singgung (lain) yang ditarik dari titik E. Misalkan O adalah pusat lingkaran Γ, dan G perpotongan antara EO dan P R, seperti terlihat pada gambar berikut